'N Rasionele funksie is 'n vergelyking wat die vorm aanneem y = N (x)/D (x) waar N en D polinome is. Om 'n akkurate grafiek van een met die hand te probeer skets, kan 'n omvattende oorsig wees van baie van die belangrikste wiskundeonderwerpe op hoërskool, van basiese algebra tot differensiële berekening. Beskou die volgende voorbeeld: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Stappe
Stap 1. Vind die y -afsnit
Stel eenvoudig x = 0. Alles behalwe die konstante terme verdwyn en y = 5/2 verlaat. Om dit as 'n koördinaatpaar (0, 5/2) uit te druk, is 'n punt op die grafiek. Skets die punt.
Stap 2. Vind die horisontale asimptoot
Verdeel die noemer lank in die teller om die gedrag van y te bepaal vir groot absolute waardes van x. In hierdie voorbeeld toon deling dat y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Vir groot positiewe of negatiewe waardes van x, nader 17/(8 x + 4) nul, en die grafiek benader die lyn y = (1/2) x - (7/4). Gebruik 'n stippellyn of 'n ligte getekende lyn en teken hierdie lyn.
- As die tellergraad minder is as die noemer, is daar geen verdeling nie en is die asimptoot y = 0.
- As deg (N) = deg (D), is die asimptoot 'n horisontale lyn in die verhouding van die voorste koëffisiënte.
- As deg (N) = deg (D) + 1, is die asimptoot 'n lyn waarvan die helling die verhouding van die voorste koëffisiënte is.
- As deg (N)> deg (D) + 1, dan vir groot waardes van | x |, gaan y vinnig na positiewe of negatiewe oneindigheid as 'n kwadratiese, kubieke of hoërgraad polinoom. In hierdie geval is dit waarskynlik nie die moeite werd om die kwosiënt van die afdeling akkuraat te teken nie.
Stap 3. Soek die nulle
'N Rasionale funksie het 'n nul as die teller nul is, dus stel N (x) = 0. In die voorbeeld is 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Die diskriminant van hierdie kwadratiese is b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Aangesien die diskriminant negatief is, het N (x) en gevolglik f (x) geen werklike wortels nie. Die grafiek kruis nooit die x -as nie. As daar nulle gevind word, voeg die punte by die grafiek.
Stap 4. Soek die vertikale asimptote
'N Vertikale asimptoot kom voor wanneer die noemer nul is. Deur 4 x + 2 = 0 te stel, word die vertikale lyn x = -1/2 gegee. Teken elke vertikale asimptoot met 'n ligte of stippellyn. As 'n waarde van x beide N (x) = 0 en D (x) = 0 maak, is daar 'n vertikale asimptoot al dan nie. Dit is skaars, maar sien die wenke om dit te hanteer as dit voorkom.
Stap 5. Kyk na die res van die afdeling in stap 2
Wanneer is dit positief, negatief of nul? In die voorbeeld is die teller van die res 17 wat altyd positief is. Die noemer, 4 x + 2, is positief regs van die vertikale asimptoot en negatief links. Dit beteken dat die grafiek die lineêre asimptoot van bogenoemde benader vir groot positiewe waardes van x en van onder vir groot negatiewe waardes van x. Aangesien 17/(8 x + 4) nooit nul kan wees nie, sny hierdie grafiek nooit die lyn y = (1/2) x - (7/4) nie. Moenie nou iets by die grafiek voeg nie, maar let op hierdie gevolgtrekkings vir later.
Stap 6. Vind die plaaslike ekstrema
'N Plaaslike ekstremum kan voorkom wanneer N' (x) D (x) - N (x) D '(x) = 0. In die voorbeeld is N' (x) = 4 x - 6 en D '(x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Uitbreiding, kombinasie van terme en deel deur 4 blare x 2 + x - 4 = 0. Die kwadratiese formule toon wortels naby x = 3/2 en x = -5/2. (Dit verskil ongeveer 0,06 van die presiese waardes, maar ons grafiek is nie presies genoeg om bekommerd te wees oor die detail nie. Deur 'n ordentlike rasionele benadering te kies, is die volgende stap makliker.)
Stap 7. Vind die y -waardes van elke plaaslike ekstremum
Koppel die x -waardes van die vorige stap terug in die oorspronklike rasionele funksie om die ooreenstemmende y -waardes te vind. In die voorbeeld is f (3/2) = 1/16 en f (-5/2) = -65/16. Voeg hierdie punte (3/2, 1/16) en (-5/2, -65/16) by die grafiek. Aangesien ons in die vorige stap benader het, is dit nie die presiese minimum en maksimum nie, maar is dit waarskynlik naby. (Ons weet (3/2, 1/16) is baie naby aan die plaaslike minimum. Vanaf stap 3 weet ons dat y altyd positief is as x> -1/2 en ons het 'n waarde so klein as 1/16 gevind, dus in hierdie geval is die fout waarskynlik minder as die dikte van die lyn.)
Stap 8. Verbind die kolletjies en brei die grafiek glad uit van die bekende punte na die asimptote en sorg dat u dit uit die korrekte rigting benader
Moenie die x -as kruis nie, behalwe op die punte wat reeds in stap 3 gevind is. Moenie die horisontale of lineêre asimptoot oorsteek nie, behalwe op die punte wat reeds in stap 5 gevind is. die uiterste wat in die vorige stap gevind is.
Video - Deur hierdie diens te gebruik, kan sommige inligting met YouTube gedeel word
Wenke
- Sommige van hierdie stappe kan die oplossing van 'n hoë graad polinoom behels. As u nie presiese oplossings kan vind deur faktorisering, formules of ander maniere nie, skat dan die oplossings met behulp van numeriese tegnieke soos Newton se metode.
- As u die stappe volg, is dit gewoonlik nie nodig om tweede afgeleide toetse of soortgelyke potensieel ingewikkelde metodes te gebruik om vas te stel of die kritieke waardes plaaslike maksimum, plaaslike minimum of nie een is nie. Probeer eers die inligting uit vorige stappe en 'n bietjie logika gebruik.
- As u dit slegs met precalculus -metodes probeer doen, kan u die stappe vir die vind van die plaaslike ekstrema vervang deur verskeie bykomende (x, y) geordende pare tussen elke paar asimptote te bereken. Alternatiewelik, as u nie omgee hoekom dit werk nie, is daar geen rede waarom 'n precalculus -student nie die afgeleide van 'n polinoom kan neem en N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = kan oplos nie 0.
-
In seldsame gevalle kan die teller en noemer 'n gemeenskaplike nie -konstante faktor hê. As u die stappe volg, sal dit as 'n nul en 'n vertikale asimptoot op dieselfde plek verskyn. Dit is onmoontlik en wat eintlik gebeur, is een van die volgende:
- Die nul in die N (x) het 'n hoër veelvoud as die nul in D (x). Die grafiek van f (x) nader nul op hierdie punt, maar is daar nie gedefinieer nie. Dui dit aan met 'n oop sirkel om die punt.
- Die nul in die N (x) en die nul in D (x) het dieselfde veelvoud. Die grafiek benader 'n punt van nie-nul vir hierdie waarde van x, maar is daar nie gedefinieer nie. Dui dit weer aan met 'n oop sirkel.
- Die nul in die N (x) het 'n laer veelvoud as die nul in D (x). Hier is 'n vertikale asimptoot.
