'N Apolloniese pakking is 'n tipe fraktale beeld wat gevorm word uit 'n versameling krimpende sirkels wat binne 'n enkele groot sirkel voorkom. Elke sirkel in die Apolloniese pakking raak die aangrensende sirkels - met ander woorde, die sirkels in die Apolloniese pakking maak kontak op oneindig klein punte. Hierdie tipe fraktal, wat vernoem is na die Griekse wiskundige Apollonius van Perga, kan tot 'n redelike mate van kompleksiteit (met die hand of met die rekenaar) getrek word en 'n pragtige, treffende beeld vorm. Sien stap 1 hieronder om aan die gang te kom.
Stappe
Deel 1 van 2: Verstaan sleutelbegrippe
Om duidelik te wees, as u bloot daarin belangstel om 'n Apolloniese pakking te teken, is dit nie noodsaaklik om die wiskundige beginsels agter die fraktale te ondersoek nie. As u egter 'n dieper begrip van Apollonian Gaskets wil hê, is dit belangrik om die definisies van verskeie konsepte wat ons sal gebruik wanneer ons dit bespreek, te verstaan.
Stap 1. Definieer sleutelterme
Die volgende terme word in die onderstaande instruksies gebruik:
- Apollonian Gasket: Een van verskeie name vir 'n tipe fraktaal wat bestaan uit 'n reeks sirkels wat in een groot sirkel geneste is en raak aan alle ander nabygeleë. Dit word ook 'Soddy Circles' of 'Kissing Circles' genoem.
- Radius van 'n sirkel: die afstand van die middelpunt van 'n sirkel tot by die rand daarvan. Gewoonlik word die veranderlike r toegeken.
- Kromming van 'n sirkel: die positiewe of negatiewe inverse van die radius, of ± 1/r. Kromming is positief in die omgaan met die buitenste kromming van die sirkel en negatief vir die binnekromming.
- Tangent: 'n Term wat toegepas word op lyne, vlakke en vorms wat op 'n oneindig klein punt sny. In Apollonian Pakkings verwys dit na die feit dat elke sirkel slegs 'n punt aan elke nabygeleë sirkel raak. Let daarop dat daar geen kruising is nie - raaklynvorms oorvleuel nie.
Stap 2. Verstaan Descartes se stelling
Die stelling van Descartes is 'n formule wat nuttig is om die groottes van die sirkels in 'n Apolloniese pakking te bereken. As ons die krommings (1/r) van enige drie sirkels onderskeidelik as a, b en c definieer, stel die stelling dat die kromming van die sirkel (of sirkels) wat aan al drie raak, wat ons as d sal definieer, is: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Vir ons doeleindes gebruik ons gewoonlik slegs die antwoord wat ons kry deur 'n plusteken voor die vierkantswortel te plaas (met ander woorde … + 2 (sqrt (…)). Vir eers is dit genoeg om te weet dat die aftrekking die vorm van die vergelyking kan in ander verwante take gebruik word
Deel 2 van 2: Konstruksie van die Apolloniese pakking
Apolloniese pakkings neem die vorm aan van pragtige fraktale rangskikkings van krimpende sirkels. Wiskundig het Apollonian Pakkings oneindige kompleksiteit, maar of u nou 'n rekenaartekenprogram of tradisionele tekenhulpmiddels gebruik, u sal uiteindelik 'n punt bereik waarop dit onmoontlik is om sirkels kleiner te trek. Let op: hoe meer presies u u sirkels teken, hoe meer sal u in u pakking kan pas.
Stap 1. Versamel u digitale of analoog tekenhulpmiddels
In die onderstaande stappe maak ons ons eie eenvoudige Apolloniese pakking. Dit is moontlik om Apollonian Pakkings met die hand of op die rekenaar te teken. In albei gevalle wil u perfek ronde sirkels kan teken. Dit is redelik belangrik. Aangesien elke sirkel in 'n Apolloniese pakking perfek raak aan die sirkels langsaan, kan sirkels wat selfs effens misvorm is, u finale produk "afgooi".
- As u die pakking op 'n rekenaar teken, benodig u 'n program waarmee u maklik sirkels van 'n vaste radius vanaf 'n sentrale punt kan teken. Gfig, 'n vektor-uitbreiding vir die gratis beeldbewerkingsprogram GIMP, kan gebruik word, net soos 'n wye verskeidenheid ander tekenprogramme (sien die materiaalafdeling vir relevante skakels). U benodig waarskynlik ook 'n sakrekenaartoepassing en 'n woordverwerkingsdokument of 'n fisiese notaboek om notas oor krommings en radiuse te maak.
- Om die pakking met die hand te teken, benodig u 'n sakrekenaar (wetenskaplik of grafies voorgestel), 'n potlood, kompas, liniaal (verkieslik 'n skaal met millimeter merke, grafiekpapier en 'n notaboek om notas te neem.
Stap 2. Begin met een groot sirkel
Jou eerste taak is eenvoudig - teken net een groot, volmaakte ronde sirkel. Hoe groter die sirkel is, hoe meer ingewikkeld kan u pakking wees, dus probeer om 'n sirkel so groot te maak as wat u papier toelaat of so groot as wat u maklik in een venster op u tekenprogram kan sien.
Stap 3. Skep 'n kleiner sirkel in die oorspronklike, aan die een kant raak
Teken dan nog 'n sirkel in die eerste, wat kleiner is as die oorspronklike, maar nog steeds redelik groot. Die presiese grootte van die tweede sirkel is aan u - daar is geen korrekte grootte nie. Vir ons doeleindes, laat ons egter ons tweede sirkel teken sodat dit presies halfpad oor ons groot buitenste sirkel kom. Met ander woorde, laat ons ons tweede sirkel teken sodat sy middelpunt die middelpunt van die radius van die groot sirkel is.
Onthou dat alle sirkels wat in aanraking kom in Apollonian Pakkings mekaar raak. As u 'n kompas gebruik om u sirkels met die hand te teken, herskep u hierdie effek deur die skerp punt van die kompas in die middelpunt van die radius van die groot buitenste sirkel te plaas, u potlood so aan te pas dat dit net die rand van die groot sirkel raak, teken dan u kleiner binnekring
Stap 4. Teken 'n identiese sirkel "oorkant" die kleiner binnekring
Laat ons dan nog 'n sirkel trek teenoor ons eerste. Hierdie sirkel moet raak aan beide die groot buitenste sirkel en die kleiner binnesirkel, wat beteken dat u twee binnekringe op die presiese middelpunt van die groot buitenste sirkel sal raak.
Stap 5. Pas Descartes se stelling toe om die grootte van u volgende sirkels te bepaal
Kom ons stop 'n oomblik met teken. Noudat ons drie sirkels in ons pakking het, kan ons die stelling van Descartes gebruik om die radius van die volgende sirkel wat ons teken, te vind. Onthou dat Descartes se stelling is d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), waar a, b en c die krommings van u drie raaklynsirkels is en d die kromming van die sirkel is wat al drie raak. Om die radius van ons volgende sirkel te vind, laat ons die kromming van elk van die sirkels wat ons tot dusver het, bepaal, sodat ons die kromming van die volgende sirkel kan vind, en dit dan omskakel na sy radius.
-
Kom ons definieer die radius van ons buitenste sirkel as
Stap 1.. Omdat die ander sirkels binne hierdie een is, het ons te doen met die binnekromming (eerder as die buitekromming), en gevolglik weet ons dat die kromming daarvan negatief is. -1/r = -1/1 = -1. Die kromming van die groot sirkel is - 1.
-
Die radius van die kleiner sirkels is die helfte so groot as die groot sirkels, of met ander woorde 1/2. Aangesien hierdie sirkels mekaar raak en die groot sirkel met hul buitekant, het ons te doen met hul kromming aan die buitekant, sodat hul krommings positief is. 1/(1/2) = 2. Die krommings van die kleiner sirkels is albei
Stap 2..
-
Nou weet ons dat a = -1, b = 2 en c = 2 vir ons Descartes se stellingvergelyking. Kom ons los vir d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (vierkante (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Die kromming van ons volgende sirkel is
Stap 3.. Aangesien 3 = 1/r, is die radius van ons volgende sirkel 1/3.
Stap 6. Skep jou volgende stel sirkels
Gebruik die radiuswaarde wat u pas gevind het om u volgende twee sirkels te teken. Onthou dat dit kringe sal raak aan die sirkels waarvan u die krommings gebruik het vir a, b en c in Descartes se stelling. Met ander woorde, dit raak beide die oorspronklike en die tweede sirkel raak. Om hierdie sirkels aan al drie sirkels raak te trek, moet u dit in die oop ruimtes in die boonste en onderste gedeelte van die gebied binne u groot oorspronklike sirkel teken.
Onthou dat die radius van hierdie sirkels gelyk is aan 1/3. Meet 1/3 van die rand van die buitenste sirkel af en teken dan u nuwe sirkel. Dit moet al drie die omringende sirkels raak
Stap 7. Gaan so voort om sirkels by te voeg
Omdat dit fraktale is, is Apollonian Pakkings oneindig kompleks. Dit beteken dat u kleiner en kleiner sirkels na hartelus kan byvoeg. U het slegs die presisie van u gereedskap beperk (of, as u 'n rekenaar gebruik, kan u tekenprogram 'inzoomen'). Elke sirkel, al is dit hoe klein, moet drie ander sirkels raak. Om elke daaropvolgende sirkel in u pakking te teken, koppel die krommings van die drie sirkels waaraan dit raak, in Descartes se stelling. Gebruik dan u antwoord (wat die radius van u nuwe sirkel sal wees) om u nuwe sirkel akkuraat te teken.
- Let op dat die pakking wat ons gekies het om te teken, simmetries is, sodat die radius van een sirkel dieselfde is as die ooreenstemmende sirkel "daarteenoor". Weet egter dat nie elke Apolloniese pakking simmetries is nie.
-
Kom ons pak nog 'n voorbeeld. Kom ons sê dat ons, nadat ons ons laaste stel sirkels geteken het, nou die sirkels wil trek wat raak aan ons derde stel, ons tweede stel en ons groot buitenste sirkel. Die krommings van hierdie sirkels is onderskeidelik 3, 2 en -1. Kom ons koppel hierdie getalle in Descartes se stelling, met a = -1, b = 2 en c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (vierkante (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Ons het twee antwoorde! Omdat ons egter weet dat ons nuwe sirkel kleiner sal wees as enige van die sirkels waaraan dit raak, slegs 'n kromming van
Stap 6. (en dus 'n radius van 1/6) maak sin.
- Ons ander antwoord, 2, verwys eintlik na die hipotetiese sirkel aan die ander kant van die raakpunt van ons tweede en derde sirkel. Hierdie sirkel is raak aan beide hierdie sirkels en aan die groot buitenste sirkel, maar dit sny die sirkels wat ons reeds geteken het, sodat ons dit kan verontagsaam.
Stap 8. Vir 'n uitdaging, probeer om 'n nie-simmetriese Apollonian Pakking te maak deur die grootte van u tweede sirkel te verander
Alle Apolloniese pakkings begin dieselfde - met 'n groot buitekring wat as die rand van die fraktaal dien. Daar is egter geen rede dat u tweede sirkel noodwendig 1/2 van die radius van die eerste moet hê nie - ons het net hierbo gekies omdat dit eenvoudig en maklik is om te verstaan. Om pret te hê, probeer om 'n nuwe pakking met 'n tweede sirkel van 'n ander grootte te begin - dit sal lei tot opwindende nuwe maniere van verkenning.
