Hoe om 'n kwadratiese vergelyking te teken: 10 stappe (met foto's)

2024 Outeur: Robert Blare | [email protected]. Laas verander: 2024-02-02 02:05

By 'n grafiek, kwadratiese vergelykings van die vorm byl² + bx + c of a (x - h)² + k gee 'n gladde U-vormige of 'n omgekeerde U-vormige kromme wat 'n parabool genoem word. Die grafiek van 'n kwadratiese vergelyking is om die hoekpunt, rigting en dikwels sy x- en y -afsnitte te vind. In die gevalle van relatief eenvoudige kwadratiese vergelykings, kan dit ook voldoende wees om 'n reeks x -waardes in te sluit en 'n kromme te teken op grond van die gevolglike punte. Sien stap 1 hieronder om aan die gang te kom.

Stappe

Stap 1. Bepaal watter vorm van kwadratiese vergelyking jy het

Die kwadratiese vergelyking kan in drie verskillende vorme geskryf word: die standaardvorm, hoekpuntvorm en die kwadratiese vorm. U kan enige vorm gebruik om 'n kwadratiese vergelyking te teken; die grafiese proses is effens anders. As u 'n huiswerkprobleem doen, ontvang u die probleem gewoonlik in een van hierdie twee vorme - met ander woorde, u kan nie kies nie, dus is dit beter om beide te verstaan. Die twee vorme van kwadratiese vergelyking is:

• Standaard vorm.

  In hierdie vorm word die kwadratiese vergelyking geskryf as: f (x) = ax² + bx + c waar a, b en c reële getalle is en a nie gelyk is aan nul nie.

  Twee kwadratiese vergelykings in die standaardvorm is byvoorbeeld f (x) = x² + 2x + 1 en f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex vorm.

  In hierdie vorm word die kwadratiese vergelyking geskryf as: f (x) = a (x - h)² + k waar a, h en k reële getalle is en a nie gelyk is aan nul nie. Vertex vorm word so genoem omdat h en k jou direk die hoekpunt (sentrale punt) van jou parabool by die punt (h, k) gee.

  Twee hoekpuntvormvergelykings is f (x) = 9 (x - 4)² + 18 en -3 (x - 5)² + 1

• Om een van hierdie tipe vergelykings te grafiseer, moet ons eers die hoekpunt van die parabool vind, wat die sentrale punt (h, k) aan die "punt" van die kromme is. Die koördinate van die hoekpunt in standaardvorm word gegee deur: h = -b/2a en k = f (h), terwyl h en k in die hoekpunt in die vergelyking gespesifiseer word.

Stap 2. Definieer u veranderlikes

Om 'n kwadratiese probleem op te los, moet die veranderlikes a, b en c (of a, h en k) gewoonlik gedefinieer word. 'N Gemiddelde algebraprobleem gee u 'n kwadratiese vergelyking met die ingevulde veranderlikes, gewoonlik in standaardvorm, maar soms in hoekpuntvorm.

• Byvoorbeeld, vir die standaardvormvergelyking f (x) = 2x² + 16x + 39, ons het a = 2, b = 16 en c = 39.
• Vir die hoekpunt vorm vergelyking f (x) = 4 (x - 5)² + 12, ons het a = 4, h = 5 en k = 12.

Stap 3. Bereken h

In hoekpuntvormvergelykings word u waarde vir h reeds gegee, maar in standaardvormvergelykings moet dit bereken word. Onthou dat h = -b/2a vir standaardvormvergelykings.

• In ons standaardvormvoorbeeld (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). By die oplossing vind ons dat h = - 4.
• In ons hoekpuntvorm (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), weet ons h = 5 sonder om wiskunde te doen.

Stap 4. Bereken k

Soos met h, is k reeds bekend in hoekpuntvormvergelykings. Vir standaardvormvergelykings, onthou dat k = f (h). Met ander woorde, u kan k vind deur elke geval van x in u vergelyking te vervang met die waarde wat u net vir h gevind het.

• Ons het in ons standaardvormvoorbeeld vasgestel dat h = -4. Om k te vind, los ons ons vergelyking op met ons waarde vir h deur x te vervang:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Stap 7.

• In ons hoekpuntvorm ken ons weer die waarde van k (wat 12 is) sonder om wiskunde te doen.

Stap 5. Plot jou hoekpunt

Die hoekpunt van u parabel is die punt (h, k) - h spesifiseer die x -koördinaat, terwyl k die y -koördinaat spesifiseer. Die hoekpunt is die sentrale punt in u parabel - óf die heel onderkant van 'n "U" óf die heel boonste punt van 'n onderstebo "U". Om die hoekpunt te ken, is 'n noodsaaklike deel van die grafiek van 'n akkurate parabool - in die skoolwerk is die spesifisering van die hoekpunt dikwels 'n vereiste deel van 'n vraag.

• In ons standaardvormvoorbeeld sal ons hoekpunt op (-4, 7) wees. Ons parabool bereik dus vier spasies links van 0 en 7 spasies bo (0, 0). Ons moet hierdie punt op ons grafiek teken, en sorg dat ons die koördinate benoem.
• In ons hoekpuntvorm is ons hoekpunt by (5, 12). Ons moet 'n punt 5 spasies regs en 12 spasies hierbo (0, 0) teken.

Stap 6. Teken die as van die parabool (opsioneel)

'N Parabool se simmetrie -as is die lyn wat deur sy middel loop en dit perfek in twee verdeel. Oor hierdie as sal die linkerkant van die parabool die regterkant weerspieël. Vir kwadrate van die vorm byl² + bx + c of a (x - h)² + k, die as is 'n lyn parallel aan die y-as (met ander woorde perfek vertikaal) en gaan deur die hoekpunt.

In die geval van ons standaardvormvoorbeeld, is die as 'n lyn parallel aan die y-as en gaan deur die punt (-4, 7). Alhoewel dit nie deel is van die parabel nie, kan hierdie reël liggies op u grafiek u uiteindelik help om te sien hoe die parabool simmetries krom

Stap 7. Vind die rigting van die opening

Nadat ons die hoekpunt en as van die parabool uitgevind het, moet ons eers weet of die parabool opwaarts of afwaarts oopmaak. Gelukkig is dit maklik. As "a" positief is, sal die parabool opwaarts oopgaan, terwyl "a" negatief is, sal die parabool afwaarts oopmaak (dit wil sê, dit sal onderstebo gedraai word.)

• Vir ons standaardvormvoorbeeld (f (x) = 2x² + 16x + 39), weet ons dat ons 'n parabool na bo oopmaak, want in ons vergelyking is a = 2 (positief).
• Vir ons hoekpuntvorm (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), weet ons dat ons ook 'n parabool het wat na bo oopmaak omdat a = 4 (positief).

Stap 8. Soek en teken x afsnitte indien nodig

By skoolwerk word u gereeld gevra om 'n parabel se x-afsnitte te vind (wat een of twee punte is waar die parabool die x-as ontmoet). Selfs as u dit nie vind nie, kan hierdie twee punte van onskatbare waarde wees om 'n akkurate parabool te teken. Nie alle parabolas het egter x-afsnitte nie. As u parabel 'n hoekpunt het, kan dit na bo oopmaak en 'n hoekpunt bo die x -as het, of as dit afwaarts oopmaak en 'n hoekpunt onder die x -as het, dit sal geen x afsnitte hê nie. Anders, los u x -afsnitte op met een van die volgende metodes:

• Stel eenvoudig f (x) = 0 en los die vergelyking op. Hierdie metode werk moontlik vir eenvoudige kwadratiese vergelykings, veral in hoekpuntvorm, maar dit sal uiters moeilik wees vir meer ingewikkelde. Sien 'n voorbeeld hieronder

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 en 13 is die parabel se x-afsnitte.

• Faktoreer jou vergelyking. 'N Paar vergelykings in die byl² + bx + c vorm kan maklik in die vorm ingereken word (dx + e) (fx + g), waar dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, en e × g = c. In hierdie geval is u x afsnitte die waardes vir x wat beide terme tussen hakies = 0. Byvoorbeeld:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • In hierdie geval is u enigste x -afsnit -1, want om x gelyk aan -1 te wees, sal een van die gefaktoreerde terme tussen hakies gelyk aan 0 wees.

• Gebruik die kwadratiese formule. As u nie maklik u x -afsnitte kan oplos of u vergelyking kan faktoriseer nie, gebruik 'n spesiale vergelyking genaamd die kwadratiese formule wat vir hierdie doel ontwerp is. As dit nog nie die geval is nie, kry u die vergelyking in die vorm byl² + bx + c, steek dan a, b en c in die formule x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Let daarop dat dit u dikwels twee antwoorde gee vir x, wat OK is - dit beteken net dat u parabel twee x afsnitte het. Sien 'n voorbeeld hieronder:

  • -5x² + 1x + 10 word soos volg by die kwadratiese formule ingeprop:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13.18/-10) en (-15.18/-10). Die parabel se x afsnitte is ongeveer x = - 1.318 en 1.518
  • Ons vorige standaardvorm, 2x² + 16x + 39 word soos volg by die kwadratiese formule ingeprop:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Omdat dit onmoontlik is om die vierkantswortel van 'n negatiewe getal te vind, weet ons dit geen x afsnitte nie bestaan vir hierdie spesifieke parabool.

Stap 9. Soek en teken die y -afsnit indien nodig

Alhoewel dit dikwels nie nodig is om 'n y -afsnit van 'n vergelyking te vind nie (die punt waarop die parabool deur die y -as gaan), sal u dit uiteindelik nodig hê, veral as u op skool is. Hierdie proses is redelik maklik - stel net x = 0 in, en los dan die vergelyking op vir f (x) of y, wat u die y -waarde gee waarop u parabool deur die y -as gaan. Anders as x afsnitte, kan standaard parabolas slegs een y afsnypunt hê. Let wel - vir standaardvormvergelykings is die y -afsnit by y = c.

• Ons ken byvoorbeeld ons kwadratiese vergelyking 2x² + 16x + 39 het 'n y -afsnit by y = 39, maar dit kan ook soos volg gevind word:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Die parabool se y -afsnit is by y = 39.

    Soos hierbo opgemerk, is die y -afsnit by y = c.

• Ons hoekpunt vorm vergelyking 4 (x - 5)² + 12 het 'n y -afsnit wat soos volg gevind kan word:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Die parabel se y -afsnit is by y = 112.

Stap 10. Teken indien nodig bykomende punte, en teken dan 'n grafiek

U moet nou 'n hoekpunt, rigting, x afsnit (s) en moontlik 'n y -afsnit vir u vergelyking hê. Op hierdie punt kan u probeer om u parabool te teken deur die punte wat u as riglyn het, of u kan meer punte vind om u parabool te "invul" sodat die kromme wat u teken, akkurater is. Die maklikste manier om dit te doen, is om slegs 'n paar x waardes aan weerskante van u hoekpunt in te sluit, en dan hierdie punte te teken met behulp van die y -waardes wat u kry. Dikwels vereis onderwysers dat u 'n sekere aantal punte moet behaal voordat u u parabool teken.

• Kom ons kyk weer na die vergelyking x² + 2x + 1. Ons weet reeds dat die enigste x -afsnit daarvan by x = -1 is. Omdat dit slegs op een punt die x-afsnit raak, kan ons aflei dat sy hoekpunt sy x-afsnit is, wat beteken dat sy hoekpunt (-1, 0) is. Ons het eintlik net een punt vir hierdie parabel - nie naastenby genoeg om 'n goeie parabool te teken nie. Kom ons soek nog 'n paar om te verseker dat ons 'n akkurate grafiek teken.

  • Kom ons vind die y -waardes vir die volgende x -waardes: 0, 1, -2 en -3.
  • Vir 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Ons punt is (0, 1).

  • Vir 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Ons punt is (1, 4).

  • Vir -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Ons punt is (-2, 1).

  • Vir -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Ons punt is (-3, 4).

  • Teken hierdie punte op die grafiek en teken u U-vormige kromme. Let daarop dat die parabool perfek simmetries is - as u punte aan die een kant van die parabool op heelgetalle lê, kan u gewoonlik werk bespaar deur bloot 'n gegewe punt oor die simmetrie -as van die parabel te reflekteer om die ooreenstemmende punt aan die ander kant te vind van die parabool.

Video - Deur hierdie diens te gebruik, kan sommige inligting met YouTube gedeel word

Wenke

• Let op dat in f (x) = ax² + bx + c, as b of c gelyk is aan nul, verdwyn die getalle. Byvoorbeeld, 12x² + 0x + 6 word 12x² + 6 omdat 0x 0 is.
• Rond getalle af of gebruik breuke soos u algebra -onderwyser vir u sê. Dit sal u help om u kwadratiese vergelykings behoorlik te teken.